| 중학교 수학은 1 학기에 주로 수와 식을 배우고 , 2학기에는 기하 단원들을 배웁니다. 도형을 어려워하는 아이들이 적지 않은 게 사실. 막연한 두려움에 자신감을 잃는 사례도 상당합니다. '중등 과정의 기하 단원을 충분히 소화하지 못해도 고등 수학을 하는 데 무리 없을 것' 이라고 위안 삼죠. 하지만 전문가들의 의견은 다릅니다. 고등 과정으로 갈수록 대수와 기하를 복합한 형태로 출제해 학생들이 기하라고 인지하지 못할 뿐, 중등 기하가 고등 수학의 문제 해결 과정에 끊임없이 나온다고 말합니다. 수학에서 고득점을 얻으려면 2학기에 배우는 기하 파트를 확실하게 짚고 넘어가야 한다는 얘기죠. 중등 기하를 포기하면 안 되는 이유와 기하 울렁증을 없애는 학년별 공략 방법을 담았습니다. |
진행 민경순 리포터 hellela@naver.com
취재 민경순·허정숙리포터 jshur7@naver.com
도움말 김성태 원장(에이블수학학원, <대치동 선생님들의 중학수학 멘토링> 지은이) 김유정 교사(서울 덕수중학교)·박정은 강사(수박씨닷컴)·신웅식 교사(경기 안산 이호중학교)·정근창 원장(대구 더스쿨수학학원)
참고 도서 <대치동 선생님들의 중학수학 멘토링>·<중학수학 서술형시험 만점 공부법>·<천재교육 중2 수학교과서> |
| 편집부가 독자에게 ... 도형만 보면 멘붕? 중학생을 위한 기하 정복법! 합동, 닮음, 피타고라스의 정리… 기하만 나오면 괴로워하는 중학생이 많습니다.
이런 아이들일수록 '나는 공간 감각이 없어 기하 부분을 잘하기 어렵다' 며 포기하기 쉬운데요. 하지만 전문가들은 공간 지각력이 높지 않은 학생도 개념과 공식 유도 과정을 충분히 이해하고 생각하는 힘을 키우면, 고득점이 가능하다고 합니다.
이번 호 '위클리 테마' 에서 중등 과정에서 기하를 놓쳐선 안 되는 이유와 구체적인 학년별 학습 노하우를 확인하시기 바랍니다.
_허정숙 기자 |
| Weekly Theme |
| 2학기 수학, 도형이 골칫거리? |
| 중등 기하 울렁증 타파법 |
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| Weekly Theme Part 1 |
| 중등 과정 2학기에 만나는 수학은 1학기 때 배운 현대 수학과 다르다. 수 체계, 방정식, 부등식, 함수, 인수분해 등과 다르게 세상에 존재하는 형태를 다룬 기하 단원이다. 기하를 처음 접하는 상당수의 학생들은 종전 단원과 다르다는 괴리감 때문에 힘들어하고 문제 풀이가 다양하다는 점에서 또 한 번 어려움을 느낀다. 하지만 중등 과정의 기하 단원은 고등 수학을 푸는 기본 개념에 해당하기 때문에 대충 넘어가서는 안 된다. |
| 학년 올라갈수록 기하 중요성 커져 |
고등으로 올라갈수록 기하가 차지하는 비율은 줄어든다. 그래서 많은 이들이 중등 과정의 기하를 소홀히 하더라도 고등 과정을 이해하는 데 걸림돌이 되지 않는다고 생각한다. 수박씨닷컴 박정은 강사는 "학년별 기하가 차지하는 비율을 놓고 보면 맞는 말이다. 초등 과정에서 기하가 차지하는 비율은 5:5 정도, 중등 과정은 6:4, 고등으로 올라가면 8:2로 줄어든다. 하지만 고등학교에서 다루는 대수 파트를 면밀히 살펴보면 중등에서 배웠던 기하의 배경지식이 문제를 푸는 핵심이 되는 경우가 많다" 고 설명한다.
대구 더스쿨수학학원 정근창 원장 역시 "중등 과정에서 배우는 기하는 '논증 기하' 인 반면, 고등 과정의 기하는 '해석 기하' 다.
논증 기하는 문제를 해결하기 위해 필요한 경우 보조선을 그어 필요한 수치들을 밝혀 나가는 방법인 데 반해, 해석 기하는 좌표평면을 이용해 문제를 해결한다. 이때 대수 과정을 통해 문제를 해결하기 때문에 대수 단원이라고 생각하는 경우가 많다" 고 설명한다. 이것이 고등으로 올라갈수록 기하가 중요하지 않다고 느끼는 이유. 하지만 중등 과정에서 다루었던 기하 단원의 기본 개념이나 패턴들이 고등 수학의 문제를 해결해 나가는 과정에서 끊임없이 나오기 때문에 수학 고득점을 위해서는 중등 기하를 결코 소홀히 해서는 안 된다는 설명이다.
실제 고1 수학에서 기하를 함수적으로 풀어 답을 내지만 중등 과정에서 배운 삼각형과 원에 대한 기본 지식이 있어야 문제 해결이 가능하고, 고2 과정의 삼각함수는 원을 이용한 문제들 이 다수라 중3 과정의 내용이, 무한급수는 중2 과정의 닮음을 이용해야 문제 풀이가 가능하다. 특히 정 원장은 "고등 과정의 대수 부분은 중등 과정의 내용이 반복적으로 나온다. 그러나 중등 기하 내용을 이미 알고 있다는 전제로 고등 수학의 내용을 담기 때문에 교과서에 다시 나오지는 않는다. 그러니 중등 과정을 제대로 알고 넘어가야 한다" 고 강조한다. |
잘못된 속설을 되짚다 중등 기하, 포기하면 안 되는 이유  |
| 기하 어렵다는 막연한 선입관 많아 |
경기 안산 이호중 신웅식 교사는 "기하를 어려워하는 가장 큰 이유는 답이 선형적으로 그려지지 않기 때문이다. 기하학은 사물이 놓인 형태를 파악하는 분야이기 때문에 눈에 보이지 않는 부분을 생각해야 한다. 하지만 공식에 대입해 문제를 푸는 것에 익숙한 학생들은 다양한 사고나 응용력이 필요한 기하 단원을 접하면 막연히 어렵다고 느낀다" 고 설명한다.
실제로 도형 단원 자체를 어렵다고 단정 짓는 경우가 많아 기하 단원을 더 어렵게 생각한다는 것. 박 강사는 "기하 문제는 어떤 하나의 공식을 외워서 문제를 해결하기보다 문제에 주어진 다양한 조건을 복합적으로 생각해 공식과 원리를 유추해 내는 게 핵심이다. 종전의 교과서나 문제집의 내용을 조금 변형하거나 응용했을 때 어렵다고 말하는 이유는 기하 단원을 대수 단원처럼 단순 암기로 문제를 해결해 왔기 때문이다. 기하 파트는 다양한 공식과 원리에 대한 유도 과정을 충분히 이해하는게 중요하다" 고 조언한다. |
| 개념 이해 확실하면 고득점 수월 |
기하 단원은 좋아하는 학생과 그렇지 않은 학생으로 호불호가 갈린다. 그래서 수학경시대회를 비롯해 학교 시험에서도 심화 문제나 변별력을 위한 문제에서 기하를 활용한 문제가 단골로 등장한다. 지난 5월에 실시한 2014년 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 2차 시험에서는 10문제 중 5문제가 기하 관련 문제였다. 다섯 문제 중 세 문제는 닮음, 무게중심의 성질, 방멱등 중등 과정에서 배운 기본 성질을 이용하면 풀이가 가능했다. 그중 두 문제는 삼각형의 전반적인 성질이나 내접사각형을 이용한 원의 성질을 활용하는 등 여러 개념이 섞인 문제였다.
반복적인 문제 풀이보다 원리를 이해하고 공식을 유도해 내는 과정을 심도 있게 공부해야 심화 문제도 거뜬히 풀 수 있다는게 전문가들의 설명이다.
신웅식 교사는 "중등 과정에서 기하 단원은 문제의 유형이 한정적이다. 개념이나 공식의 유도 과정을 정확하게 이해하고 문제의 유형을 익히면 1학기 때보다 고득점을 받기 쉽다. 오히려 식의 조작이 서툴고 계산 실수가 잦은 대수 파트보다 문제를 해결하기 쉬운 파트" 라고 말한다. 실제로 1학기 때 수학 성적이 저조했으나 2학기 기하 단원에서 두각을 나타내는 학생들이 많다고 한다. 기하학은 대수를 다루는 다른 파트와 전혀 다른 수학이기 때문에 1학기 성적이 부진했어도 마음만 먹으면 고득점이 가능하다는 것이다. |
 Tip 중등 기하, 오해와 진실 1 중등 기하, 고등 수학과 연계성 적다?
큰일 날 소리다. 수학이란 과목은 다른 과목에 비해 연계성이 중요하다. 고등 과정에서 새롭게 배우는 기하 단원도 있지만, 대수와 관련된 단원에서 중등 과정에서 다룬 기하가 배경 지식으로 등장하는 경우가 더 많다. 예를 들어 '수학1' 도형의 방정식에서는 점 직선 원 도형의 이동 부등식의 영역이, '미적분1' 과 '미적분2' 에서는 닮음 피타고라스의 정리 삼각비 등이 기본 개념으로 전제된다. 다시 말해 고등 수학은 분량이 많고 난도 또한 높으나 중등 과정을 제대로 이해하고 넘어가면 따라가기 어렵지 않다.
2 평면 도형과 입체 도형은 별개다?
입체 도형의 기본은 평면 도형이다. 평면 도형을 잘 이해해야 입체 도형을 잘한다. 평면에 대한 이해가 잘 되었을 때 공간에 대한 이해도가 높고, 입체 도형에 대한 직관력이 좋아지기 때문이다. 눈에 보이지 않는 부분을 생각해 내기 어려워하는 학생들은 입체 도형을 까다롭게 느낀다.
3 기하를 잘하는 아이는 선천적으로 타고난다?
도형 전체가 아닌 입체 도형에 국한된 이야기다. 입체 도형은 종이 위에 그려진 도형을 머릿속으로 가지고 와서 눈에 보이지 않는 부분을 생각해야 하는데, 이때 공간 지각력이 작용한다.
공간 지각력이 뛰어나면 기하 단원을 잘할 가능성이 높은 것이 사실이다. 하지만 학교 수학에서 배우는 기하 단원은 대부분 기초 도형이기 때문에 공간 지각력이 떨어진다고 낙담할 필요는 없다.
입체 도형을 조작하거나 머릿속에 떠올리는 연습을 통해 공간 감각을 기를 수 있다. |
| Weekly Theme Part 2 |
| 놓치지 말아야 할 개념이 따로 있다? |
| 수학 울렁증 줄이는 학년별 기하 공략법 |
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| Tip 추천! 도형과 친해지는 방법 1 눈과 손으로 도형 익기기
문제에 제시된 평면도형은 정확한 스케일로 그려보고, 회전체는 손으로 돌려본다. 그림을 그대로 옮겨 그리면 도형 감각과 분석 능력을 동시에 키울 수 있다.
2 유형별 풀이는 이제 그만!
전체의 개념을 먼저 공부한 뒤, 유형 정리를 보지 말고 문제를 풀자. 사고의 폭을 넓혀 자신만의 문제 해결 능력을 찾는 데 도움이 된다.
3 다양한 보조선을 시도하라
평행선, 수직선, 대각선의 중점, 각의 이등분선 등 다양한 보조선을 맘껏 긋자. 보조선이 정답을 찾는 중요한 열쇠다.
4 ▲,●등 기호를 활용하자
닮음의 활용에서는 크기가 같은 각을 ▲,●등 기호로 꼼꼼히 표시하면 풀이 방법을 찾을 수 있다. |
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| 1학년 도형의 기초를 닦자 |
 앞으로 공부할 기하의 기초가 되는 직선, 각 위치 관계, 동위각, 엇각, 평행, 합동, 원과 부채꼴을 다루게 된다. 특히 합동조건은 수학의 연역적 사고를 하는 데 많이 사용되는 개념이다. 서울 덕수중 김유정 교사는 "문제에 복잡한 그림이 나오면 그 안에서 합동인 삼각형을 찾는 것이 중요 포인트다. 그 연장선에서 2학년이 되면 닮음의 삼각형을 찾게 된다" 고 말한다. 또한 회전체의 부피 단원은 최상위권을 변별하는 단골 문제다.
<대치동 선생님들의 중학수학 멘토링>을 쓴 에이블수학학원 김성태 원장은 눈으로만 보지 말고 손으로 직접 그려 보고 평면도형을 돌려도 보면서 도형에 대한 감각을 익히라고 권한다.
공략법 각기둥과 원기둥에 물을 채운 문제다.
따라서 각기둥과 각뿔, 원기둥의 부피를 모두 구할 수 있어야 풀이가 가능하다. |
| 2학년 중등 기하의 난코스 '닮음' 을 정복하자 |
중학교 2학년 기말고사의 수학 범위는 중학교 전 과정에서 가장 난도가 높다. 각 단원의 심화 문제가 어렵기도 하지만, 문제 하나에 여러 내용이 섞여 나오기 때문이다. 개념 암기는 물론, 원리의 이해가 더욱 중요하다. 특히 도형의 닮음 활용 부분은 대다수 학생이 어려워한다.
수학 문제집을 풀 때 유형별 설명을 보고, 바로 이어 나오는 같은 유형의 문제를 푸는 경우가 많다. 하지만 기하 부분은 먼저 전체 개념을 공부한 뒤, 유형을 참고하지 말고 문제를 풀어 보는 것이 좋다. 유형별 풀이는 사고의 폭을 좁혀서 스스로 문제 해결력을 떨어뜨릴 수 있기 때문이다. 삼각형의 닮은 조건 중에 출제 빈도가 높은 것은 AA닮음. 김 교사는 "주어진 도형에서 크기가 같은 각을 ▲, ● 등 여러 가지 기호로 꼼꼼히 표시한 뒤 숨은 닮은 삼각형을 찾고, 대응변을 찾으면 문제풀이가 막힐 때 좋은 실마리가 될 수 있다" 고 조언한다. |
공략법 각기둥과 원기둥에 물을 채운 문제다. 이등변삼각형이라는 조건 때문에 각 C에도 ●표시를 할 수가 있다. 그럼 △APQ와 △ACP가 AA닮음. 그렇기에 AP:AC = AQ:AP = PQ:CP이다. 아는 변의 길이는 AC랑 CP 이다. 그런데 이때 '꼼꼼하게' ∠AQP에 ▲표시를 해보면, ∠PQC는 180° -▲. ∠APC도 ▲니까, ∠APB도 180° -▲이므로 또 다른 닮음을 확인할 수 있다. △ABP와 △PCQ도 AA닮음이므로 AB:PC = AP:PQ = BP:CQ 이다. AB, PC, BP를 알기 때문에 CQ를 구하고 AQ의 길이를 구한다.  공략법 처음에 보면 평행사변형이 눈에 들어오기 때문에 평행사변형의 어떤 원리를 이용해야 하는 것처럼 보인다. 하지만 평행사변형의 성질만으로는 문제가 풀리지 않는다. 구해야 하는 사각형 PQNM의 넓이를 직접 계산할 수는 없다는 것을 인지하자. 이 넓이를 구하려면 어떠한 부분의 넓이를 구해야 하는지 생각해 보자. 다양한 방법이 있겠지만 그중에서 간단한 방법은 삼각형 △AMN과 △APQ의 닮음비를 이용하는 것. 따라서 (1) 선분 PQ와 선분MN의 길이의 비를 알고 (2) △APQ의 넓이와 △ABD 의 넓이의 비를 알면 이 문제는 해결 가능하다. |
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| 3학년 피타고라스의 정리 확실히 이해할 것 |
| 피타고라스의 정리는 고등 기하와 연관성이 가장 크므로 공식의 유도 과정을 잘 이해해야 한다. 김 원장은 피타고라스의 정리는 오직 '직각삼각형' 에서 사용되는 공식이라는 점을 유념하라고 강조한다. "복잡한 도형 안에서 어떤 선분의 길이를 구해야 한다면 가장 먼저 그 선분이 포함된 직각삼각형을 찾아야 한다. 보이지 않으면 보조선을 그려서 만들어야 한다" 고 조언한다. |
 공략법 선분 BI의 길이를 구해야 한다. 선분 BI를 한 변으로 하는 삼각형은 보이지 않는다. 보조선이 필요하다. 이 선분은 삼각형 AFC와 수직으로 만난다. I를 지나는 보조선을 삼각형AFC 위에 그리면 직각삼각형을 찾을 수 있다. 점 I 와 점 A를 잇는 보조선을 그어 직각삼각형 ABI를 만들면 피타고라스 정리에 의해 AB²=BI²= IA²이 성립한다. 이제 선분 IA의 길이만 구하면 된다. 삼각형 AFC는 정삼각형이기 때문에 선분 IA를 구하기 위해서는 선분 IA의 연장선을 이용해서 또 다른 직각삼각형을 찾아야 하는데, 정삼각형 AFC의 외심과 내심, 무게중심이 I라는 것에 착안하면 된다. |
